ตรรกศาสตร์

 

ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์

คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น “ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์
การใช้เหตุผล
วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ
1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล”
2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ” 

แนวคิดที่มาและความสำคัญ

     ในชีวิตประจำวันของมนุษย์มีการใช้เหตุผลเป็นกระบวนการทางความคิด ที่พยายามแสดงว่าข้อสรุปควรเป็นที่ยอมรับเพราะมีเหตุผลหรือหลักฐานที่ดีมาสนับสนุน นอกจากนี้ เรายังต้องอธิบาย  การพิจารณาการตัดสิน เพื่อยุติปัญหาความขัดแย้งขัดแย้ง ยิ่งไปกว่านั้นมนุษย์ประสบความสำเร็จยิ่งใหญ่ในการใช้เหตุผลเป็นเครื่องมือแสวงหาความรู้ จนกลายเป็นความเจริญก้าวหน้าทางวิทยาการด้านต่างๆ เหตุผลจึงมีบทบาทสำคัญยิ่งในการดำเนินชีวิตของมนุษย์(ข้อมูลออนไลน์http://mathlogic2.blogspot.com/) 

      ปัจจุบันตรรกศาสตร์ (หรือตรรกวิทยา) (Logic) คือวิชาที่ศึกษา เพื่อแยกการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล ออกจากการให้เหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผล นักปราชญ์ซึ่งเรายอมรับว่าเป็นบิดาของวิชาตรรกศาสตร์ คือ อริสโตเติ้ล(Aristotle, 384 – 322 ก่อนคริสตศักราช) โดยอริสโตเติ้ล เชื่อว่ามนุษย์เท่านั้นที่สามารถคิดเกี่ยวกับเหตุและผลได้ ท่านได้เขียนตำราชื่อ Organum ซึ่งเกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ถูกต้อง หลักการของหนังสือเล่มนี้กลายมาเป็นหลักการของตรรกศาสตร์เชิงอนุมาน (Deductive Logic) ปัจจุบัน( ข้อมูลออนไลน์:http://kruaun.wordpress.com วันที่3 กุมภาพันธ์  2556) ตรรกศาสตร์เป็นวิชาแขนงหนึ่งที่มีการศึกษาและพัฒนามาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ  คำว่า   “ตรรกศาสตร์” มาจากภาษาสันสฤตว่า  “ตรฺก”  (หมายถึง  การตรึกตรอง  หรือความคิด)  รวมกับ “ศาสตร์”  (หมายถึง  ระบบความรู้)  ดังนั้น  “ตรรกศาสตร์  จึงหมายถึง  ระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิด”  โดยความคิดที่ว่านี้  เป็นความคิดที่เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผล  มีเกณฑ์ของการใช้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผล  นักปราชญ์สมัยโบราณได้ศึกษาเกี่ยวกับการให้เหตุผล  แต่ยังเป็นการศึกษาที่ไม่เป็นระบบ  จนกระทั่งมาในสมัยของอริสโตเติล  ได้ทำการศึกษาและพัฒนาตรรกศาสตร์ให้มีระบบยิ่งขึ้น  มีการจัดประเภทของการให้เหตุผลเป็นรูปแบบต่าง ๆ ซึ่งเป็นแบบฉบับของการศึกษาตรรกศาสตร์ในสมัยต่อมา  เนื่องจากตรรกศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฏเกณฑ์ของการใช้เหตุผลจึงเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาในศาสตร์อื่น ๆ  เช่น  ปรัชญา  คณิตศาสตร์  วิทยาศาสตร์  กฎหมาย  เป็นต้น  นอกจากนี้  ยังถูกนำมาใช้ในชีวิตประจำวันอยู่เสมอ  เพียงแต่  รูปแบบของการให้เหตุผลนั้น  มักจะละไว้ในฐานที่เข้าใจ  และเพื่อเป็นความรู้พื้นฐานสำหรับผู้ศึกษาที่จะนำไปใช้และศึกษาต่อไป  จึงจะกล่าวถึงตรรกศาสตร์และการให้เหตุผลเฉพาะส่วนที่จำเป็นและสำคัญเท่านั้นเหตุผล คือ หลักฐานหรือสิ่งยืนยันความเชื่ออย่างใดอย่างหนึ่งว่าเป็นจริง  การใช้เหตุผลเป็นการกระทำหรือกิจกรรมในชีวิตประจำวันของคนเรา  เมื่อเราเกิดปัญหาหรือข้อขัดแย้งหรือต้องการตัดสินสิ่งต่าง ๆ  เราก็สามารถหาข้อยุติได้โดยการใช้เหตุผล  ผู้ใดมีเหตุผลดีกว่า  ข้อสรุปก็เป็นที่ยอมรับได้มากกว่า   แต่เหตุผลดังกล่าวอาจไม่ใช่เหตุผลที่ถูกต้องเสมอไป  เนื่องจากเรามักใช้เหตุผลตามความเคยชิน  โดยขาดหลักเกณฑ์และการพิจารณาไตร่ตรองอย่างรอบคอบเป็นเหตุให้เกิดความสับสนได้    ในการวิเคราะห์การอ้างเหตุผลเพื่อตัดสินว่าถูกต้องหรือดีพอที่จะยอมรับได้หรือไม่นั้น จึงเป็นสิ่งที่ทำได้ไม่ง่ายนักถ้าปราศจากหลักเกณฑ์มาช่วยในการพิจารณา  การหากฎเกณฑ์มาพิจารณาวินิจฉัยการใช้เหตุผลว่าถูกหรือผิดอย่างไรนั้น  เป็นเรื่องของตรรกวิทยา  ดังนั้นตรรกวิทยาจึงเป็นความรู้พื้นฐานที่สำคัญอย่างยิ่งของการใช้เหตุผลที่เราจะต้องทำความเข้าใจต่อไป(ข้อมูลออนไลน์:htt://images.poohgive.multiply.mltiplycontent.com วันที่ 3 กุมภาพันธ์ 2556)

   ดังนั้น คณิตตรรกศาสตร์ เป็นชื่อที่เปอาโน(paano) ใช้เรียกตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ ในแก่นแท้แล้วสาขานี้ก็ยังคงเป็นตรรกศาสตร์ของอริสโตเติลอยู่ แต่ว่าเปลี่ยนมาใช้รูปแบบการเขียนในลักษณะเดียวกับพีชคณิตนามธรรม ความพยายามที่จะจัดการกับการดำเนินการต่าง ๆ ของตรรกศาสตร์รูปนัย ในเชิงสัญลักษณ์ หรือในเชิงพีชคณิตนั้น แม้จะได้มีขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ที่ค่อนไปทางนักปรัชญา เช่นไลบ์นิซ และแลมเบิร์ต แต่งานที่พวกเขาทำนั้นไม่เป็นที่รู้จักและกระจัดกระจาย   จนกระทั่งจอร์จ บูลและตามด้วยออกัสตัส เดอ มอร์แกน ในช่วงกลางของคริสต์ศตวรรษที่ 19 ได้นำเสนอวิธีการที่เป็นระบบเชิงคณิตศาสตร์ (ซึ่งยังไม่เป็นแบบเชิงปริมาณ) สำหรับตรรกศาสตร์   แนวทางการศึกษาตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลจึงได้ถูกปฏิรูปและถูกทำให้สมบูรณ์ จุดนี้ก่อให้เกิดการพัฒนาเครื่องมือ ที่สามารถใช้เพื่อศึกษามโนทัศน์พื้นฐานของคณิตศาสตร์ได้   คงจะไม่ถูกนักถ้าจะกล่าวว่าการโต้แย้งเชิงรากฐานที่มีขึ้นในช่วง ค.ศ. 1900 - 1925 ได้พบกับคำตอบที่น่าพอใจแล้ว แต่อย่างไรก็ตามตรรกศาสตร์ 'แนวใหม่' นี้ก็ได้ช่วยให้ความกระจ่างในด้านของปรัชญาคณิตศาสตร์เป็นอย่างยิ่งในขณะที่พัฒนาการตามแนวทางดั่งเดิมของตรรกศาสตร์ (ดูรายการบทความด้านตรรกศาสตร์) นั้น ให้ความสำคัญอย่างสูงกับ รูปแบบของการให้เหตุผล มุมมองของคณิตตรรกศาสตร์ในปัจจุบันกลับสามารถกล่าวได้ว่าเป็น การศึกษาเชิงการจัดกลุ่มของเนื้อหา (the combinatorial study of content) ซึ่งครอบคลุมถึงส่วนที่เป็น เชิงสังเคราะห์ (เช่น การส่งข้อความจากภาษาเชิงรูปนัยไปยังคอมไพเลอร์เพื่อเปลี่ยนเป็นภาษาเครื่อง) และส่วนที่เป็น เชิงความหมาย (การสร้างโมเดล หรือเซตของโมเดลทั้งหมดในทฤษฎีโมเดล)(ข้อมูลออนไลน์:http//th.wikipedia.org.com วันที่3 กุมภาพันธ์ 2556)  เมื่อเราได้รู้เกี่ยวกับวิวัฒนาการของตรรกศาสตร์แล้วและเราสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับชีวิตประจำวันได้ แม้เราจะใช้เหตุผลกันอยู่ทุกวัน แต่เหตุผลอาจไม่ใช่เหตุผลที่ถูกต้องเสมอไป เราจึงต้องรู้จักการใช้เหตุผลที่ถูกต้องและรู้จักวิวัฒนาการของตรรกศาสตร์ ซึ่งจะทำให้เรารู้จักการใช้เหตุผลมากยิ่งขึ้น เนื่องจากเรามักใช้เหตุผลตามความเคยชินโดยขาดหลักเกณฑ์และการพิจารณาอย่างรอบคอบ เป็นเหตุให้เกิดความสับสนระหว่างผู้พูดกับผู้ฟัง ดังนั้นเราต้องมีวิจารณญาณที่จะแยกแยะเหตุผลที่ดีออกจากเหตุผลที่ ไม่ดีได้  แต่บางครั้งการวิเคราะห์การอ้างเหตุผลต้องใช้หลักเกณฑ์มาช่วยในการพิจารณา การหากฎเกณฑ์มาวินิจฉัยการใช้เหตุผลว่าถูกหรือผิดอย่างไรนั้นเป็นเรื่องของตรรกศาสตร์(Logic) คือ ระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิด โดยความคิดที่ว่านี้ เป็นความคิดที่เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผล

(ข้อมูลออนไลน์:http://mathlogic2.blogspot.com  วันที่ 3 กุมภาพันธ์ 2556 )

ประพจน์ (Proposition)
     ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น

ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
     
ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์
จังหวัดชลบุรีอยู่ทางภาคตะวันออกของไทย ( จริง )
5 × 2 = 2 + 5 ( เท็จ )
ตัวอย่างต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์
โธ่คุณ ( อุทาน )

กรุณาปิดประตูด้วยครับ ( ขอร้อง )

ท่านเรียนวิชาตรรกวิทยาเพื่ออะไร ( คำถาม )
     
ประโยคเปิด (Open sentence)
บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง
ประโยคเปิด เช่น
1.เขาเป็นนักบาสเกตบอลทีมชาติไทย
2. x + 5 =15
3. y < - 6
ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
1.10 เป็นคำตอบของสมการ X-1=7
2.โลกหมุนรอบตัวเอง
3.จงหาค่า X จากสมการ 2x+1=8
ตัวเชื่อม (connective)


1. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน Ùและเขียนแทนด้วย P Ù Q แต่ละประพจน์มีค่าความจริง(truth value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้าทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่า PÙQ เป็นจริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริง P Ù Q
โดยตารางแสดงค่าความจริง (truth table) ดั้งนี้

P	Q	P Ù Q
T T F F	T F T F	T F F F

ตัวอย่าง 5+1 = 6 Ù 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
5+1 = 6 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)
5+1 = 1 Ù 2 น้อยกว่า 3 (เท็จ)
5+1 = 1 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

2. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P V Q

จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง เรา

ให้นิยามค่าความจริงของ P V Q

ตัวอย่างตารางค่าความจริง ดังนี้

P	Q	P V Q
T T F F	T F T F	T T T F

ตัวอย่าง 5 + 1 = 6 V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)              5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 (จริง)
              5 + 1 = 1V 2 น้อยกว่า 3 (จริง) 
              5 + 1 = 1V 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน ® และเขียนแทนด้วย P®Q

นิยามค่าความจริงของ P®Q โดยแสดงตารางค่าความจริงดังนี้

P	Q	P®Q
T T F F	T F T F	T F T T

ตัวอย่าง 1 < 2 ® 2 < 3 (จริง) 1 < 2 ® 3 < 2 (เท็จ) 2 < 1 ® 2 < 3 (จริง)
2 < 1 ® 3 < 2 (จริง)

4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทนด้วย P«Q

นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P«Q

P	Q	P«Q
T T F F	T F T F	T F F T

แบบทดสอบ

1 [p -> (r /\ ~r)] /\ [~r V (q V ~q)] มีค่าตรงกับข้อใด

ก. ~r

ข. ~p

ค. q

ง. p V ~r

2. ถ้าค่าความจริงของ (A -> B) -> (A -> (B /\ C)) เป็นเท็จ

ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ มีค่าเป็นจริง

ก. (A /\ B) /\ C

ข. (A /\ ~B) /\ ~C

ค. ~(A /\ B) V C

ง. (A /\ ~B) V ~C

3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้และสรุป

(1) กำหนด ~p /\ q เป็นจริง แล้ว (~p /\ q) -> (~p V q) มีค่าความจริงเป็นจริง

(2) กำหนด p /\ q เป็นจริง และ q -> r เป็นเท็จ แล้ว [(p /\ q) -> (q -> r)] <-> (q <-> r) มีค่าความจริงเป็นจริง

(3) ถ้า p /\ q เป็นจริง และ p -> (r V s) เป็นเท็จ แล้ว [(~p /\ q) -> t] <-> (r V ~s) มีค่าเป็นจริง

ก. ถูก 1 ข้อ

ข. ถูก 2 ข้อ

ค. ถูก 3 ข้อ

ง. ผิดทุกข้อ

4. ข้อใดเป็นนิเสธของข้อความ

ถ้าวันนี้ฝนไม่ตก แล้วนายแดงจะไปเที่ยว

ก. วันนี้ฝนตก หรือนายแดงไปเที่ยว

ข. วันนี้ฝนไม่ตก และนายแดงไม่ไปเที่ยว

ค. วันนี้ฝนไม่ตก หรือนายแดงไปเที่ยว

ง. วันนี้ฝนตก และนายแดงไปเที่ยว

5. จงพิจารณาข้อความ

(1) (p -> ~p) <-> ~(p /\ q) เป็นสัจนิรันดร์

(2) [(p /\ ~q) -> ~p] -> (p -> q) เป็นสัจนิรันดร์

ข้อใดถูก

ก. (1) ถูกเพียงข้อเดียว

ข. (2) ถูกเพียงข้อเดียว

ค. (1) และ (2) ถูก

ง. (1) และ (2) ผิด

6. ข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ก. [~p V (q /\ r)] <-> [p -> (q -> r)]

ข. [p /\ (~q /\ ~r)] V [(p -> q) V r]

ค. [(p -> q) /\ (p -> r)] <-> [p -> (q /\ r)]

ง. (p -> q) /\ (r V ~p) -> [p -> (q -> r)]

7. ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์

ก. (p -> q) <-> (p /\ ~q)

ข. (p <-> q) <-> (~p -> q)

ค. [(p /\ q) -> r] <-> [p -> (q -> r)]

ง. [~p /\ ~q] <-> [~p V ~q]

8. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี

ก. (p -> q) -> (~q -> ~p)

ข. [(p -> r) /\ (q -> r)] <-> [(p V q) -> r]

ค. (~p -> ~q) -> (p -> q)

ง. [p /\ (p V q)] -> p

9. ถ้าประโยค

นกมีหู หรือ หนูมีปีก

มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วข้อใดเป็นเท็จ

ก. นกมีหู และ หนูมีปีก

ข. นกมีหู ก็ต่อเมื่อ หนูมีปีก

ค. ถ้านกมีหู แล้วหนูมีปีก

ง. ถ้านกมีหู แล้วหนูไม่มีปีก

10. ข้อใดต่อไปนี้ไม่สมมูลกัน

ก. p -> q : ~p V q

ข. ~ (~p) : p

ค. p <-> q : (p -> q) /\ (q -> p)

ง. p -> q : ~p /\ q

เฉลย

1. ข 2. ง 3. ค 4. ข 5. ข 6. ก 7. ค 8. ง 9. ก 10. ง